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RepoLog│レポログ

研究職サラリーマンが日々感じたことをレポートするブログです。

連続型確率分布を使って、"タイムマシンが作れない"ことを証明するよ

タイムマシーン

皆さんはタイムマシーンがあったら、どの瞬間にタイムスリップしたいですか。

タイムマシーンがあれば、アニメ"ドラえもん"や映画"バック・トゥ・ザ・フューチャー"の世界のように、過去に戻り「やってみたいことがある」という方は多いのではないでしょうか。

そんな方タイムマシーンの開発を信じる方には、本日の記事は少々残念な内容になってしまうかもしれません。

というのも、本日は、「タイムマシーンを作ることは、"数学的"に不可能である」ということを証明していくからです。

数学的にと聞くと、「えっ…難しそう。」と感じてしまう方もいるかもしれませんが、小学生でも理解できるように説明しますので、どうぞ最後までお付き合いください。

 

1分で分かる!連続型確率分布

ここでは、タイムマシーンが存在しないことを、"連続型確率分布"を用いて証明していきます。

 
なに言ってんの??もう帰るよ。

 

 

 

・・・ちょっと待ってください。

数学が好きな方ならいざ知らず、普通の生活をしていて"連続型確率分布"なんていう考え方に触れることはまずありえません。それは、筆者も十分に理解しています。

そこで、たった1分で"連続型確率分布"をざっくり説明しますので、もう少しだけお付き合いください。

「離散」と「連続」の違い

「確率」という概念は馴染み深い数学用語だと思いますが、実は確率には大きく分けて2種類の確率が存在するのです。それが、離散型と連続型です。

例を挙げると、イメージが持てるはずです。

  • 離散型…サイコロ・トランプなど扱う数字が"とびとび"
  • 連続型…身長や体重など扱う数字の"切れ目がない"

何となくイメージしていただけたでしょうか。

つまり、離散型のサイコロの目は1と2の間に「1.5」などの数は存在しておらず、連続型の体重には60㎏と61㎏の間に「60.005kg」など無数の数が存在しているということです。

数直線でイメージすると、次のようになります。

離散と連続のイメージ

数学では、さいころの目のような数を「離散値」と呼び、体重のような数を「連続値」と呼びます。

 
「離散」と「連続」の違いは、わかりましたか?

 

 

 

一口に確率といっても、どちらの数を対象にしているかで確率の定義が変わってくるわけです。確か高校数学までは、連続値を用いた確率を扱わなかったような気がします。

ここまでで、連続型とは何かが分かっていただけたと思いますので、続いて連続型確率分布とは何かを簡単に説明します。

連続型確率分布の世界

 
ねぇ、いつタイムマシーンが出てくんのさ。

 
すみません。あと少し付き合ってください。

 

 

 

扱う対象が離散値なのか、連続値なのかで確率の考え方は大きく変わります。

ここでは、あまり聞きなれない"連続型確率分布"をどうやって考えるかという深い話はせず、連続型確率分布の特徴(性質)のみ紹介していきます。

連続型確率分布は、以下の3つの特徴を持っています。

 連続型確率分布の特徴 
  1.  \begin{eqnarray} P(X=a)=0 \end{eqnarray}
  2.  \begin{eqnarray} 0\leqq P(a\leqq X\leqq b)\leqq 1 \end{eqnarray}
  3.  \begin{eqnarray} P(-\infty \leqq  X\leqq +\infty)= 1 \end{eqnarray}

難しい数式が登場してしまいましたが、ここで注目してほしい特徴は1.だけです。そして、この特徴が意味していることは決して難しくはありません。

1.の特徴が意味することは、連続値を扱う確率において、ある値ピッタリ取る確率は「 0」 であるということを意味しています。

これはつまり、体重がピッタリ100kgの人に出会う確率は「0」ということを意味しています。

体重100㎏

なんとなく連続型確率分布の特徴 1.の意味しているものが分かっていただけたでしょうか。

連続値は切れ目なく小数点以下の値をどこまでも細かくできてしまうため、一点の値をピッタリと取る確率は「0」になってしまうのです。

 
これが、タイムマシーンを作ることが不可能な証明につながります。

 

 

 

タイムマシーンを作ることは不可能な"証明" 

さて、ようやくタイムマシーンの話にたどり着くことができました。大変お待たせしました。

ここからが、タイムマシーンを作ることが不可能な証明になります。

ある天才科学者がとうとうタイムマシーンを開発し、過去や未来に行くことができるようになったとします。

私は、妻と結婚する前の自分に「〇〇さん(妻)と、結婚しない方がいいよ。結婚すると素晴らしい未来が待っているよ。」と、アドバイスをするためタイムスリップすることを決意しました。そこで、タイムマシーンに付いている装置を、【2000年1月1日1時ちょうど】にセットします。

さて、タイムマシーンに乗って過去へタイムスリップした私はどうなってしまうのでしょうか。

時間は「連続値」である

ここで、先ほどの連続型確率分布の話を思い出してみてください。

タイムマシーンが扱う「時間」という変量は、離散値でしょうか。連続値でしょうか。

そうです。時間は、連続値なのです。

ということは、タイムスリップした私が2000年1月1日1時ちょうどという時間ピッタリにたどり着く確率は…

そう。「0」です。

以上が、タイムマシーンを作ることは"不可能"であることの証明になります。正確には、タイムマシーンという時間を遡る機械は作れるかもしれませんが、タイムマシーンを作っても利用できないということの証明になっています。

証明の考察

「連続型確率分布を用いたタイムマシーンを作ることは不可能である証明」いかがだったでしょうか。

この記事を書きながら、私自身頭が爆発しそうになっています。プスプス…というのも、ここで紹介した考え方に引っかかっている点があるからです。 

それは、タイムマシーンの時間設定に幅を持たせたらどうなるのかということです。

連続型確率分布は、一点における確率は0になってしまいますが、区間(幅)における確率は当然0ではありません。

ただ、そうした場合にもたどり着く時間はある1点なわけで…プスプス

 
で、結局証明できたの?できなかったの?

 

 

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